Contoh Soal + Pembahasan SPLTV Bentuk Pecahan

Dalam artikel wacana Cara Praktis Menentukan Penyelesaian SPLTV Bentuk Pecahan, telah dijelaskan mengenai langkah-langkah memilih himpunan penyelesaian Sistem Persamaan Linear 3 (Tiga) Variabel atau SPLTV berbentuk pecahan. Langkah-langkah tersebut antara lain sebagai berikut.

1. Mengubah SPLTV bentuk potongan menjadi bentuk baku. Bentuk baku dari SPLTV ialah sebagai berikut.

ax + by + cz = d	atau	a1x + b1y + c1z = d1
ex + fy + gz = h		a2x + b2y + c2z = d2
ix + jy + kz = l		a3x + b3y + c3z = d3

Dengan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l atau a1, b1, c1, d1, a2, b2, c2, d2, a3, b3, c3, dan d3 merupakan bilangan-bilangan real.

Keterangan:

a, e, i, a1, a2, a3 = koefisien dari x

b, f, j, b1, b2, b3 = koefisien dari y

c, g, k, c1, c2, c3 = koefisien dari z

d, h, i, d1, d2, d3 = konstanta

x, y, z = variabel atau peubah

2. Menyelesaikan SPLTV bentuk potongan yang sudah kita peroleh bentuk bakunya memakai salah satu dari 5 metode di bawah ini.

■ Metode subtitusi

■ Metode eliminasi

■ Metode gabungan atau campuran

■ Metode determinan

■ Metode invers matriks

Nah, khusus dalam artikel ini, bentuk SPLTV potongan yang akan dibahas cara penyelesaiannya ialah variabel SPLTV (x, y, dan z) kedudukannya sebagai penyebut dalam pecahan, contohnya menyerupai sistem persamaan berikut ini.

1	+	2	+	4	=	1
x		y		z

−1	+	4	+	12	=	0
x		y		z

2	+	8	+	4	=	−1
x		y		z

Lalu bagaimanakah cara memilih himpunan penyelesaian SPLTV yang berbentuk potongan tersebut? Cara sangat praktis yaitu dengan menciptakan permisalan sebagai berikut.

Misalkan:

1	=	p	;	1	=	q	;	1	=	r
x				y				z

Dengan memakai permisalan ini, maka bentuk SPLTV potongan di atas menjadi menyerupai berikut.

■ Persamaan pertama:

⇒ 1(1/x) + 2(1/y) + 4(1/z) = 1

⇒ p + 2q + 4r = 1

■ Persamaan kedua:

⇒ −1(1/x) + 4(1/y) + 12(1/z) = 0

⇒ −p + 4q + 12r = 0

■ Persamaan ketiga:

⇒ 2(1/x) + 8(1/y) + 4(1/z) = −1

⇒ 2p + 8q + 4r = −1

Dengan demikian, kita telah memperoleh SPLTV bentuk baku dengan variabel p, q, dan r yaitu sebagai berikut.

p + 2q + 4r = 1 …………..…… Pers. (1)

−p + 4q + 12r = 0 …………… Pers. (2)

2p + 8q + 4r = −1 ..….……… Pers. (3)

Langkah selanjutnya ialah memilih himpunan penyelesaian SPLTV tersebut dengan memakai salah satu dari 5 metode penyelesaian yang telah disebutkan di atas. Misalnya kita gunakan metode adonan (eliminasi + subtitusi), sehingga penyelesaiannya ialah sebagai berikut.

#1 Metode Eliminasi (SPLTV)

Langkah pertama, kita tentukan variabel mana yang akan kita eliminasi terlebih dahulu. Untuk mempermudah, lihat variabel yang paling sederhana. Dari ketiga SPLTV di atas, variabel yang paling sederhana ialah p sehingga kita akan mengeliminasi p dulu.

Untuk menghilangkan peubah p, maka kita harus menyamakan koefisien masing-masing p dari ketiga persamaan. Perhatikan cara berikut.

p + 2q + 4r = 1 → koefisien p = 1

−p + 4q + 12r = 0 → koefisien p = −1

2p + 8q + 4r = −1 → koefisien p = 2

Agar ketiga koefisien q sama (abaikan tanda), maka kita kalikan persamaan pertama dan kedua dengan 2, sedangkan persamaan ketiga kita kalikan 1 sehingga kesannya ialah sebagai berikut.

p + 2q + 4r	=	1	|× 2|	→	2p + 4q + 8r	=	2
−p + 4q + 12r	=	0	|× 2|	→	−2p + 8q + 24r	=	0
2p + 8q + 4r	=	−1	|× 1|	→	2p + 8q + 4r	=	−1

Setelah koefisien p ketiga persamaan sudah sama, maka eksklusif saja kita selisihkan atau jumlahkan persamaan pertama dengan persamaan kedua dan persamaan kedua dengan persamaan ketiga sedemikian rupa sampai variabel p hilang. Perhatikan proses berikut ini.

● Dari persamaan pertama dan kedua:

2p + 4q + 8r	=	2
−2p + 8q + 24r	=	0	+
12q + 32r	=	2

● Dari persamaan kedua dan ketiga:

−2p + 8q + 24r	=	0
2p + 8q + 4r	=	−1	+
16q + 28r	=	−1

Dengan demikian, kita peroleh SPLDV sebagai berikut.

12q + 32r = 2

16q + 28r = −1

#2 Metode Subtitusi (SPLDV)

Dari SPLDV pertama, kita peroleh persamaan p sebagai berikut.

⇒ 12q + 32r = 2

⇒ 12q = 2 – 32r

Kemudian, biar persamaan q di atas sanggup disubtitusikan pada SPLDV kedua, kita sedikit modifikasi SPLDV menjadi bentuk menyerupai berkut.

⇒ 16q + 28r = −1 [SPLDV awal]

⇒ 4/3(12q) + 28r = −1 [SPLDV modifikasi]

Kemudian masukkan persamaan q ke SPLDV modifikasi tersebut.

⇒ 4/3(12q) + 28r = −1

⇒ 4/3(2 – 32r) + 28r = −1

⇒ 8/3 – 128r/3 + 28r = −1

Kalikan kedua ruas dengan angka 3

⇒ 8 − 128r + 84r = −3

⇒ −128r + 84r = −3 – 8

⇒ −44r = −11

⇒ r = −11/−44

⇒ r = 1/4

Kemudian untuk memilih nilai q, kita subtitusikan nilai r = 1/4  ke dalam salah satu SPLDV, contohnya persamaan 12q + 32r = 2 sehingga kita peroleh:

⇒ 12q + 32r = 2

⇒ 12q + 32(1/4 ) = 2

⇒ 12q + 8 = 2

⇒ 12q = 2 – 8

⇒ 12q = –6

⇒ q = –6/12

⇒ q = –1/2

Setelah nilai q dan r diperoleh, langkah selanjutnya ialah memilih nilai p dengan cara mensubtitusikan nilai q = –1/2 dan r = 1/4  ke salah satu SPLTV di atas, contohnya persamaan p + 2q + 4r = 1 sehingga kita peroleh:

⇒ p + 2q + 4r = 1

⇒ p + 2(–1/2) + 4(1/4 ) = 1

⇒ p + 2(–1/2) + 4(1/4 ) = 1

⇒ p – 1 + 1 = 1

⇒ p + 0 = 1

⇒ p = 1

Sampai disini kita sudah berhasil mendapat nilai p = 1, q = –1/2 dan r = 1/4 . Langkah terakhir ialah memilih nilai x, y, dan z dengan memakai permisalan sebelumnya, yaitu sebagai berikut.

1/x	=	p		1/y	=	q		1/z	=	r
1/x	=	1		1/y	=	–1/2		1/z	=	1/4
x	=	1		y	=	–2		z	=	4

Dengan demikian kita peroleh nilai x = 1 , y = −2, dan z = 4 sehingga himpunan penyelesaian SPLTV tersebut ialah {(1 , −2, 4)}.